Liczba podzielna przez 7 w matematyce oznacza, że dana liczba dzieli się bez reszty przez 7. W artykule omówimy nie tylko kryteria podzielności przez 7, ale również przez 8 i 12. Dowiesz się, kiedy liczba naturalna jest podzielna przez te liczby oraz jak szybko to sprawdzić. Podamy proste reguły, dzięki którym będziesz mógł łatwo rozpoznać, czy dana liczba dzieli się przez 7, 8 lub 12. Przedstawimy też kilka przykładów do samodzielnego przećwiczenia.
Kluczowe wnioski:- Liczby podzielne przez 7 kończą się zawsze tą samą cyfrą.
- Aby sprawdzić podzielność przez 8, należy sprawdzić, czy ostatnie 3 cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8.
- Liczba jest podzielna przez 12 wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie dzieli się przez 3 i 4.
- Istnieją proste sposoby na szybkie sprawdzenie podzielności liczb przez 7, 8 oraz 12.
- W artykule znajdziesz konkretne przykłady i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania.
Liczba podzielna przez 7 - kryterium
Liczba naturalna jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra jest 0, 7, 4 lub 9. Oznacza to, że np. liczby 14, 21, 28, 35 podzielą się bez reszty przez 7. Wystarczy zatem sprawdzić ostatnią cyfrę danej liczby, aby stwierdzić jej podzielność przez 7.
Dzieje się tak, ponieważ 7 dzieli równo każdą liczbę, której cyfry zsumowane dają wielokrotność liczby 7. Na przykład:
- 21: 2 + 1 = 3 → podzielna przez 7
- 42: 4 + 2 = 6 → podzielna przez 7
- 56: 5 + 6 = 11 → niepodzielna przez 7
Podsumowując, aby sprawdzić, czy dana liczba dzieli się przez 7 wystarczy:
- Sprawdzić ostatnią cyfrę liczby. Jeśli jest to 0, 7, 4 lub 9 - liczba dzieli się przez 7.
- Jeśli ostatnia cyfra jest inna - zsumować wszystkie cyfry liczby. Jeśli suma daje liczbę podzielną przez 7 - cała liczba też dzieli się przez 7.
Prosty przykład
Czy liczba 52 436 jest podzielna przez 7?
Rozwiązanie: Ostatnia cyfra to 6, a więc nie 0, 7, 4 ani 9. Sumujemy wszystkie cyfry: 5 + 2 + 4 + 3 + 6 = 20. Ponieważ 20 dzieli się przez 7, to i liczba 52 436 jest podzielna przez 7 bez reszty.
Jak sprawdzić, czy liczba dzieli się przez 7?
Istnieje kilka sposobów na sprawdzenie, czy dana liczba dzieli się przez 7, nie tylko metoda opisana powyżej. W zależności od tego, jak duża i złożona jest badana liczba, można wykorzystać:
Sprawdzenie ostatniej cyfry - w przypadku niezbyt dużych liczb naturalnych wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę. Jeśli cyfra ta to: 0, 7, 4 lub 9, liczba dzieli się przez 7.
Sumowanie cyfr - jeśli ostatnia cyfra nie pozwala od razu stwierdzić podzielności przez 7, sumujemy wszystkie cyfry liczby. Jeśli suma daje 7, 14, 21 itd. (czyli liczbę podzielną przez 7) - badana liczba też dzieli się bez reszty.
Dzielenie próbne - bez względu na wielkość i złożoność liczby, zawsze można wykonać dzielenie próbne przez 7. Jeśli reszta z dzielenia wynosi 0 - liczba jest podzielna przez 7.
Która metoda jest najszybsza?
Z punktu widzenia szybkości obliczeń, najprostszą i najszybszą metodą jest sprawdzenie ostatniej cyfry liczby. Jeśli to możliwe, zawsze warto zacząć od tego. Sumowanie cyfr może być nieco bardziej czasochłonne w przypadku liczb z wieloma cyframi. Dzielenie próbne jest uniwersalne, ale wymaga wykonania działania, więc jest wolniejsze niż np. zwykłe sprawdzenie cyfry.
Czytaj więcej: Mrożenie ciasta na pizzę - czy można i jak bezpiecznie to zrobić?
Liczby podzielne przez 8 - cechy charakterystyczne
Liczba naturalna jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona z jej trzech ostatnich cyfr dzieli się przez 8. Na przykład:
| Liczba | 3 ostatnie cyfry | Czy podzielna przez 8? |
| 16 432 | 432 | Tak |
| 52 304 | 304 | Tak |
| 36 544 | 544 | Tak |
| 73 285 | 285 | Nie |
Wynika z tego prosty sposób sprawdzania podzielności przez 8 - wystarczy sprawdzić, czy liczba złożona z trzech ostatnich cyfr badanej liczby dzieli się przez 8. Np. w liczbie 641 592 wystarczy sprawdzić, czy 592 dzieli się przez 8.
Przykład zastosowania
Czy liczba 72 136 528 jest podzielna przez 8?
Rozwiązanie: Bierzemy 3 ostatnie cyfry: 528. Ponieważ 528 dzieli się przez 8, to i liczba 72 136 528 jest podzielna przez 8.
Kiedy liczba jest podzielna przez 12?
Liczba naturalna jest podzielna przez 12 wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnia dwa warunki:
- Jest podzielna przez 3
- Jest podzielna przez 4
Oznacza to, że aby sprawdzić, czy dana liczba dzieli się przez 12 wystarczy kolejno sprawdzić, czy spełnia kryteria podzielności przez 3 oraz przez 4. Jeśli oba te warunki są spełnione - liczba na pewno dzieli się przez 12.
Prosty przykład
Czy liczba 48 036 jest podzielna przez 12?
Rozwiązanie:
- Sprawdzamy podzielność przez 3 - suma cyfr 4 + 8 + 0 + 3 + 6 = 21. Liczba 21 jest podzielna przez 3, więc liczba 48 036 też jest podzielna przez 3.
- Sprawdzamy podzielność przez 4 - ostatnie dwie cyfry 36 tworzą liczbę podzielną przez 4. Tak więc liczba 48 036 jest podzielna przez 4.
Ponieważ 48 036 jest jednocześnie podzielna przez 3 i przez 4, to na pewno dzieli się też przez 12.
Algorytm sprawdzania podzielności przez 12
Podsumowując, oto prosty algorytm (krok po kroku) do sprawdzania, czy liczba dzieli się przez 12:
- Sprawdź podzielność przez 3 - zsumuj wszystkie cyfry liczby, jeśli suma daje 3, 6, 9 itd. liczba jest podzielna przez 3
- Sprawdź podzielność przez 4 - jeśli ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, to i cała liczba jest podzielna przez 4
- Jeśli liczba jest jednocześnie podzielna przez 3 i przez 4, to na pewno dzieli się też przez 12.
Stosując powyższy prosty algorytm, sprawdzanie podzielności przez 12 sprowadza się do dwóch łatwych kroków - weryfikacji podzielności najpierw przez 3, a następnie przez 4.
Wzory na podzielność przez 7, 8 i 12
Powyżej omówiliśmy już kryteria i konkretne metody sprawdzania podzielności liczb przez 7, 8 i 12. Można je streścić w postaci gotowych wzorów, które pozwolą szybko sprawdzać podzielność różnych liczb.
Nie musisz pamiętać żadnych skomplikowanych reguł!
Wystarczy, że znasz te proste wzory!
Wzór na podzielność przez 7
- Jeśli ostatnia cyfra = 0, 7, 4 lub 9 → podzielna przez 7
- Jeśli suma cyfr daje 7, 14, 21 itd. → podzielna przez 7
Wzór na podzielność przez 8
- Jeśli liczba z 3 ostatnich cyfr dzieli się przez 8 → podzielna przez 8
Wzór na podzielność przez 12
- Jeśli jednocześnie:
- podzielna przez 3 (suma cyfr daje 3, 6, 9 itd)
- podzielna przez 4 (ostatnie 2 cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4)
Testy podzielności - ćwiczenia i przykłady
Teraz, gdy znasz już zasady i wzory na sprawdzanie podzielności przez 7, 8 i 12, możesz potrenować to w praktyce i sprawdzić swoją wiedzę. Rozwiąż poniższe zadania i zapisz wyniki.
Ćwiczenie 1 - Podaj wszystkie liczby trzycyfrowe podzielne przez 8.
Rozwiązanie:...
Ćwiczenie 2 - Czy liczba 45 279 368 jest podzielna przez 12? Wymień kolejne kroki rozumowania.
Rozwiązanie: ...
Mam nadzieję, że dzięki temu artykułowi nie tylko zrozumiałeś zasady dotyczące podzielności liczb przez 7, 8 i 12 ale też nabrałeś wprawy w praktycznym ich stosowaniu. Powodzenia w dalszej nauce matematyki!
Podsumowanie
W artykule omówiliśmy, kiedy liczba naturalna jest podzielna przez 7, 8 oraz 12. Dowiedzieliśmy się, że liczba dzieli się przez 7, jeśli jej ostatnia cyfra to 0, 7, 4 lub 9 lub gdy suma jej cyfr daje liczbę podzielną przez 7. Z kolei dana liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona z jej trzech ostatnich cyfr dzieli się przez 8. Natomiast by stwierdzić, czy liczba dzieli się przez 12 musimy sprawdzić, czy jednocześnie dzieli się ona przez 3 i przez 4.
W artykule przedstawiliśmy konkretne metody, krok po kroku, pozwalające w praktyce zweryfikować, czy liczba spełnia kryteria podzielności odpowiednio przez 7, 8 oraz 12. Podaliśmy również gotowe wzory ułatwiające szybkie sprawdzenie podzielności. Uzupełnieniem teorii były przykłady oraz zadania do samodzielnego rozwiązania, dzięki którym można było utrwalić nową wiedzę.
Mam nadzieję, że lektura artykułu pozwoliła nie tylko zrozumieć zasady dotyczące podzielności przez 7, 8 i 12, ale też nabyć wprawy w ich praktycznym wykorzystaniu. Jest to przydatna umiejętność, która może ułatwić rozwiązywanie wielu problemów matematycznych w szkole i nie tylko.
Jeśli masz jakieś pytania dotyczące omawianego tematu albo potrzebujesz dodatkowych wyjaśnień lub ćwiczeń - daj znać w komentarzu. Postaram się jak najszybciej przedstawić na nie odpowiedź i pomóc poszerzyć twoją wiedzę matematyczną.
